Tinha um problema congênito na coluna que o impossibilitava de virar seu pescoço para os lados. Mesmo assim atuou no rádio, teatro, cinema e na dublagem.
Iniciou sua carreira no rádio, como ator de novelas na era de ouro da Rádio Nacional, na década de 1940.
Logo depois, Arthur estreou no cinema, fazendo pequenos papeis em chanchadas, gênero bastante comum no cinema brasileiro na época. Nas décadas de 70 e 80, o ator esteve em dois filmes do cineasta Bruno Barreto: Dona Flor e Seus Dois Maridos e Romance da Empregada.
Na televisão, participou de novelas, minisséries e programas na Rede Globo e na TV Tupi. Estreou em novelas de televisão já veterano, em 1970, no clássico de Janete Clair , Irmãos Coragem. No teatro, participou da bem sucedida peça Filumena Marturano, protagonizada pela grande atriz Yara Amaral, sua colega de elenco na minissérie Anos Dourados, atuando também ao lado do ator José Wilker, entre outros. Também participou em 1978 de um dos episódios da segunda temporada do Sítio do Picapau Amarelo — O Minotauro — no papel de Dédalo.
Arthur Costa Filho fez também carreira como dublador.
Ele faleceu no bairro da Tijuca, no Rio dia 31 de Janeiro de 2003, aos 75 anos, vítima de um infarto. Ele foi enterrado no dia seguinte, Cemitério da Paz.