Filha de Pat Vega (de origem alemã e sueca) e Richard Peck (de ascendência inglesa, escocesa e irlandesa). O casal se divorciou logo após o nascimento de Suzanne e sua mãe, Pat, casou-se novamente, com um escritor e professor porto-riquenho chamado Edgardo Vega Yunque, também conhecido como Ed Vega. Devido à origem étnica do padrasto, Suzanne cresceu e viveu grande parte de sua juventude em uma região de Manhattan, Nova York, habitada predominantemente por latinos.
Por volta de 1968, com nove anos de idade, começou a se interessar por literatura, escrevendo poemas. Com 14 anos, escreveu sua primeira canção.
Tempos depois, se matriculou no notório Fiorello H. LaGuardia High School of Performing Arts, onde estudou dança moderna até meados de 1977.
Suzanne, posteriormente, entrou no Bernard College onde estudou literatura inglesa. Lá, começou a participar de um grupo de cantores, sendo influenciada pelo compositor canadense Leonard Cohen.
Dispondo de apenas um violão, Suzanne apresentava suas canções, como forte influência do folk, em bares situados em Greenwich Village. Algumas vezes, se apresentou no Folk Club, um dos locais em que Bob Dylan se apresentou, nos primeiros anos de sua carreira, entre 1960 e 1961.
Seu bom desempenho nas apresentações lhe propiciaram seu primeiro contrato para gravação, pela gravadora A&M (que já havia se recusado em outras oportunidades), em 1983. O resultado foi seu álbum de estréia, auto-intitulado.